Question

18．已知P是中心为O的正方形ABCD内一点，AP⊥BP，OP=$\sqrt{2}$，PA=6，则正方形ABCD的边长是10或2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 如图1，过O作OH⊥AP于H，根据已知条件推出A，B，O，P四点共圆，根据圆周角定理得到∠BPO=∠BAO=45°，求得∠OPH=45°，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{2}$AO=10；如图2，过O作OH⊥BP于H，根据已知条件推出A，B，P，O四点共圆，得到∠OPH=∠BAO=45°列方程组得到AB=2$\sqrt{13}$，
于是得到结论．

解答 解：如图1，过O作OH⊥AP于H，
∵四边形ABCD是正方形，AP⊥BP，
∴∠AOB=∠APB=90°，
∴A，B，O，P四点共圆，
∴∠BPO=∠BAO=45°，
∴∠OPH=45°，
∴PH=OH=1，
∴AH=7，
∴AO=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AO=10；
如图2，过O作OH⊥BP于H，
∵四边形ABCD是正方形，AP⊥BP，
∴∠AOB=∠APB=90°，
∴A，B，P，O四点共圆，
∴∠OPH=∠BAO=45°，
∴PH=OH=1，
设BP=m，AB=x，
∴（m+1）²+1=（$\frac{x}{\sqrt{2}}$）²，m²+6²=x²，
解得：m=4，x=$\sqrt{52}$=2$\sqrt{13}$，
∴AB=2$\sqrt{13}$，
综上所述：正方形ABCD的边长是10或2$\sqrt{13}$，
故答案为：10或2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键．