Question

5．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AM⊥AB交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN
求证：（1）△APQ≌△MAN；
（2）PC=AN．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明△AQP≌△MNA，即可解答；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN．

解答 证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=∠ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB  MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
在△PQA与△ANM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAQ=∠AMN}\\{AQ=MN}\\{∠AQP=∠ANM}\end{array}\right.$，
∴△PQA≌△ANM（ASA）．
（2）由（1）知，△PQA≌△ANM，
∴AN=PQ  AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN．

点评 本题是考查了全等三角形的判定与性质、角平分线性质等重要知识点．解题时，需要认真分析题意，以图形的全等为主线寻找解题思路．