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    14．如图，在△ABC中，AB=7，BC=4$\sqrt{2}$，∠B=45°，动点P、Q同时出发，点P沿A-C-B运动，在边AC的速度为每秒1个单位长度，在边CB的速度为每秒$\sqrt{2}$个单位长度；点Q沿B-A-B以每秒2个单位长度的速度运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，在运动过程中，过点P作AB的垂线与AB交于点D，以PD为边向由作正方形PDEF；过点Q作AB的垂线l．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），运动时间为t（s）．
    （1）当点P运动点C时，PD的长度为4．
    （2）求点D在直线l上时t的值．
    （3）求y与t之间的函数关系式．
    （4）直接写出在运动过程中直线1将图形△ABC的面积分为9：16两部分时t的值．

    分析 （1）过点P作PD垂直AB，垂足为D，由题意可知，△PDB为等腰直角三角形，从而可求得PD的长；
    （2）先求得AD的长，然后依据勾股定理可求得AC的长，由锐角三角函数的定义AD=$\frac{3}{5}$t，当点Q由A到B时．AQ=2（t-3.5），然后由AQ=AD列方程求解即可；如图2所示：当点Q由B到A时，AP=t，则AD=$\frac{3}{5}$t，BQ=2t，由AD+BQ=7列方程求解即可；
    （3）如图4所示：可分为正方形全部在△ABC的内部、正方形的一部分在△ABC内部、正方形的一半在△ABC的内部三种情况进行计算；
    （4）分两种情形①如图7中，当△BQH的面积=$\frac{9}{25}$•S△ABC时．②如图8中，当△AQH的面积=$\frac{9}{25}$•S△ABC时，分别计算即可．

    解答 解：（1）如图1所示：

    ∵PD⊥AB，
    ∴∠PDB=90°．
    又∵∠DBP=45°．
    ∴PD=BD=BC×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4 $\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4．
    故答案为：4．

    （2）如图1所示：∵AB=7，BD=4，
    ∴AD=3．
    ∴AC=5．
    ∴sin∠A=$\frac{4}{5}$，cos∠A=$\frac{3}{5}$．
    如图2所示：当点P在AC上时，AP=t，则PD=$\frac{4}{5}$t，AD=$\frac{3}{5}$t，BQ=2t．

    ∵AD+BQ=7，
    ∴$\frac{3}{5}$t+2t=7．
    解得：t=$\frac{35}{13}$．
    如图3所示：当点Q由A到B时．AD=$\frac{3}{5}$t，AQ=2（t-3.5）．

    根据题意得：$\frac{3}{5}$t=2（t-3.5）．
    解得t=5．
    综上所述，当t=$\frac{35}{13}$或t=5时，点D在直线l上．

    （3）如图4所示：

    ∵PD=$\frac{4}{5}$t，
    ∴y=DP2=（ $\frac{4}{5}$t）2=$\frac{16}{25}$t2．
    当点F恰好在BC上时．EF=BB=$\frac{4}{5}$t．
    ∵AD+DE+EB=7，
    ∴$\frac{3}{5}$t+$\frac{4}{5}$t+$\frac{4}{5}$t=7．
    解得：t=$\frac{35}{11}$．
    ∴当0＜t≤$\frac{35}{11}$时，S=$\frac{16}{25}$t2．
    当 $\frac{35}{11}$＜t≤5时，如图5所示．

    ∵AQ=$\frac{3}{5}$t，DE=PD=$\frac{4}{5}$t，
    ∴EB=7-$\frac{7}{5}$t．
    ∵∠GEB=90°，∠B=45°，
    ∴EG=EB=7-$\frac{7}{5}$t．
    ∴FG=FE-GE=$\frac{11}{5}$t-7．
    ∴y=PD2-$\frac{1}{2}$FH•FG=-$\frac{89}{50}$t2+$\frac{77}{5}$t-$\frac{49}{2}$．
    当5＜t≤7时，如图6所示．

    ∵AD=AC×$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$CP=3+（t-5）=t-2，
    ∴DB=7-（t-2）=9-t．
    ∴y=$\frac{1}{2}$（9-t）2=$\frac{1}{2}$t2-9t+$\frac{81}{2}$．
    综上所述，y与t的关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{25}{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{35}{11}）}\\{-\frac{89}{50}{t}^{2}+\frac{77}{5}t-\frac{49}{2}}&{（\frac{35}{11}＜t≤5）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-9t+\frac{81}{2}}&{（5＜t≤7）}\end{array}\right.$．

    （4）①如图7中，当△BQH的面积=$\frac{9}{25}$•S△ABC时，$\frac{1}{2}$BQ2=$\frac{9}{25}$×14，BQ=$\frac{6\sqrt{7}}{5}$，∴t=$\frac{3\sqrt{7}}{5}$或7-$\frac{3\sqrt{7}}{5}$时，直线1将△ABC的面积分为9：16两部分．

    ②如图8中，当△AQH的面积=$\frac{9}{25}$•S△ABC时，$\frac{1}{2}$•AQ•$\frac{4}{3}$AQ=$\frac{9}{25}$×14，AQ=$\frac{3}{5}$$\sqrt{21}$，∴t=$\frac{3}{10}$$\sqrt{21}$或7-$\frac{3}{10}$$\sqrt{21}$时，直线1将△ABC的面积分为9：16两部分

    综上所述，t=$\frac{3\sqrt{7}}{5}$s或（7-$\frac{3\sqrt{7}}{5}$）s或$\frac{3}{10}$$\sqrt{21}$s或（7-$\frac{3}{10}$$\sqrt{21}$）s时，直线1将△ABC的面积分为9：16两部分．

    点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、等腰直角三角形的性质，特殊锐角三角函数值，锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，并用含t的式子表示相关线段的长度是解题的关键．

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    A．3B．4C．5D．$3\sqrt{3}$

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    19．两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置
    （1）如图①，求证：四边形ABCD是菱形．
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    （1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．求证：△AGE≌△AFE；
    （2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

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    3．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式x3y-2xy+5的二次项系数为a，常数项为b．
    （1）直接写出：a=-2，b=5．
    （2）数轴上点A、B之间有一点动P，若点P对应的数为x，试化简|2x+4|+2|x-5|-|6-x|；
    （3）若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动：同时点N从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，请直接写出经过2或$\frac{8}{3}$或6或8秒后，M、N两点相距1个单位长度，并选择一种情况计算说明．

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    4．如图1，AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF=BE．
    （1）求证：CE=CF；
    （2）在图1中，如果点G在AD上，且∠GCE=45°，那么EG=BE+DG是否成立，请说明理由．
    （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，点E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．

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