(1)①解
过O作EF⊥BC于F,交AD于E,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵EF⊥BC,
∴EF⊥AD,
∴S
△OAD+S
△OBC=
×AD×OE+
×BC×OF=
BC×EF=
S
平行四边形ABCD,
同理S
△OAB+S
△OCD=
S
平行四边形ABCD,
∴S
△OAB+S
△OCD=S
△OAD+S
△OBC,
∴平行四边形ABCD符合条件,
同理:正方形、矩形、菱形都符合,
故答案为:正方形、矩形、菱形、平行四边形.
②解:∵四边形ABCD是平行四边形且S
△ABP=8,S
△APD=7,S
△BPC=15,
∴S
△PCD+S
△PAB=S
△PAD+S
△PBC,
∴S
△PCD=7+15-8=14,
故答案为:14.
(2)①解:作AR⊥BC于R,DT⊥BC于T,
∵等腰梯形ABCD,
∴BR=TC=
(BC-AD)=3,
由勾股定理得:AR=DT=
=4,
∴等腰梯形ABCD的面积是
×(AD+BC)×AR=
×(4+10)×4=28,
∴S
△PAD+S
△PBC=
×28=14,
∴
×AD×PE+
×BC×(4-PE)=14,
解得:PE=2,
答:PE的长是2.
②解过P作HK∥AD交AB于H,交CD于K,
即作等腰梯形的中位线HK,
则等腰梯形ABCD内部所有的等积点是线段HK上任意一点都符合(端点H、K除外),如图.
分析:(1)①过O作EF⊥BC于F,交AD于E,根据平行四边形的性质和 三角形的面积求出S
△OAD+S
△OBC=
S
平行四边形ABCD即可;②根据已知公式代入求出即可;
(2)①作AR⊥BC于R,DT⊥BC于T,根据勾股定理求出AR,计算等腰梯形的面积,根据已知得到∴
×AD×PE+
×BC×(4-PE)=14,求出即可;②根据求出的PE=2,计算PF=PE=2,根据梯形的中位线定理即可得到答案.
点评:本题主要考查对等腰梯形的性质,平行四边形的性质,三角形的面积,三角形的中位线定理,勾股定理,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.