Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OC=3，OA=2$\sqrt{6}$，D是BC的中点，将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD，延长OG交AB于点E，连接DE，则点G的坐标为（$\frac{6\sqrt{6}}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

Answer 1

分析 过点G作GF⊥OA于点F，根据全等直角三角形的判定定理（HL）证出Rt△DGE≌Rt△DBE，从而得出BE=GE，根据勾股定理可列出关于AE长度的方程，解方程可得出AE的长度，再根据平行线的性质即可得出比例关系$\frac{OF}{OA}=\frac{GF}{EA}=\frac{OG}{OE}$，代入数据即可求出点G的坐标．

解答 解：过点G作GF⊥OA于点F，如图所示．
∵点D为BC的中点，
∴DC=DB=DG，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，∠C=∠OGD=∠ABC=90°．
在Rt△DGE和Rt△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{DB=DG}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DGE≌Rt△DBE（HL），
∴BE=GE．
设AE=a，则BE=3-a，OE=$\sqrt{O{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{24+{a}^{2}}$，OG=OC=3，
∴OE=OG+GE，即$\sqrt{24+{a}^{2}}$=3+3-a，
解得：a=1，
∴AE=1，OE=5．
∵GF⊥OA，EA⊥OA，
∴GF∥EA，
∴$\frac{OF}{OA}=\frac{GF}{EA}=\frac{OG}{OE}$，
∴OF=$\frac{OG•OA}{OE}$=$\frac{3×2\sqrt{6}}{5}$=$\frac{6\sqrt{6}}{5}$，GF=$\frac{OG•EA}{OE}$=$\frac{3×1}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴点G的坐标为（$\frac{6\sqrt{6}}{5}$，$\frac{3}{5}$）．
故答案为：（$\frac{6\sqrt{6}}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，解题的关键是求出线段AE的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用勾股定理得出边与边之间的关系是关键．