分析 (1)先求出点B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式;
(2)如答题图2,设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离$\sqrt{2}$时,到达P′,作P′M∥y轴,PM∥x轴,交于M点,根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形,进而求得抛物线向上平移1个单位,向右平移1个单位,从而求得平移后的解析式,进而求得与x轴的交点,与直线AC的交点,即可证得结论;
(3)如答图3所示,作点B关于直线AC的对称点B′,由分析可知,当B′、Q、F(AB中点)三点共线时,NP+BQ最小,最小值为线段B′F的长度.
解答 解:(1)∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3)
∴点B的坐标为(4,-1).
∵抛物线过A(0,-1),B(4,-1)两点,
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{-\frac{1}{2}×16+4b+c=-1}\end{array}\right.$,
解得:b=2,c=-1,
∴抛物线的函数表达式为:y=-$\frac{1}{2}$x2+2x-1.
(2)如答题图2,设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离$\sqrt{2}$时,到达P′,作P′M∥y轴,PM∥x轴,交于M点,
∵点A的坐标为(0,-1),点C的坐标为(4,3),
∴直线AC的解析式为y=x-1,
∵直线的斜率为1,
∴△P′PM是等腰直角三角形,
∵PP′=$\sqrt{2}$,
∴P′M=PM=1,
∴抛物线向上平移1个单位,向右平移1个单位,
∵y=-$\frac{1}{2}$x2+2x-1=-$\frac{1}{2}$(x-2)2+1,
∴平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$(x-3)2+2,
令y=0,则0=-$\frac{1}{2}$(x-3)2+2,
解得x1=1,x2=5,
∴平移后的抛物线与x轴的交点为(1,0),(5,0),
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}(x-3)^{2}+2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$
∴平移后的抛物线与AC的交点为(1,0),
∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点(1,0).
(3)如答图3,取点B关于AC的对称点B′,易得点B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q,取AB中点F,
连接QF,FN,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ,
∴四边形PQFN为平行四边形.
∴NP=FQ.
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$.
∴当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为2$\sqrt{5}$.
点评 本题为二次函数中考压轴题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移,对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点,考查了存在型问题和分类讨论的数学思想,试题难度较大.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | (4,1) | B. | (4,-1) | C. | (5,1) | D. | (5,-1) |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{π}$ | B. | $\frac{4}{π}$ | C. | $\frac{3}{π}$或$\frac{4}{π}$ | D. | $\frac{6}{π}$或$\frac{8}{π}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 10 | B. | -14 | C. | -12 | D. | 6 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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