Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边AB上的一个动点，PQ⊥PC，交线段CB的延长线于点Q．
（1）当BP=BC时，求证：BQ=BP．
（2）当∠A=30°，AB=4时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的两个底角相等推知∠BPC=∠BCP；然后由垂直的定义、等量代换证得∠BPQ=∠BQP．易证结论；
（2）作PH⊥BC，垂足为点H．通过解直角△ABC知∠ABC=60°，BC=2．则根据图示与勾股定理求得，PH²+QH²=CQ²-（PH²+CH²），即2PH²+QH²=CQ²-CH²．所以将有关线段的长度代入其中，即可得到y与x的关系式．

解答：（1）证明：∵BP=BC，∴∠BPC=∠BCP．
∵PQ⊥PC，∴∠BPC+∠BPQ=90°，∠BCP+∠BQP=90°．
∴∠BPQ=∠BQP．
∴BQ=BP；

（2）作PH⊥BC，垂足为点H．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴∠ABC=60°，BC=2．
∵BP=x，
∴BH=

x

2

，PH=

3

2

x．
∴CH=2-

x

2

．
∵PQ²=PH²+QH²，PQ²=CQ²-CP²=CQ²-（PH²+CH²），
∴PH²+QH²=CQ²-（PH²+CH²），即2PH²+QH²=CQ²-CH²．
∴2•(

3

2

x)2+(y+

x

2

)2=(y+2)2-(2-

x

2

)2．
整理，得4y-xy=2x²-2x．
∴所求的函数解析式为y=

2x2-2x

4-x

．
定义域为1＜x＜4．

点评：本题考查了勾股定理，直角三角形的性质．在直角三角形中，30度角所对的直角边是所对的斜边的一半．