Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的外心和内心之间的距离为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．先根据勾股定理求出AB＝10，得到△ABC的外接圆半径AO＝5，再证明四边形MECD是正方形，根据内心的性质和切线长定理，求出⊙M的半径r＝2，则ON＝1，然后在Rt△OMN中，运用勾股定理即可求解．

解：设△ABC的内切圆⊙M，O为△ACB的外接圆的圆心，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝10，

∵点O为△ABC的外心，

∴AO为外接圆半径，AO＝AB＝5，

设⊙M的半径为r，则MD＝ME＝r，

又∵∠MDC＝∠MEC＝∠C＝90°，

∴四边形IECD是正方形，

∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r，

∵AB＝10，

解得：r＝2，

∴MN＝r＝2，AN＝AE＝6﹣r＝6﹣2＝4，

在Rt△OMN中，∵∠MNO＝90°，ON＝AO﹣AN＝5﹣4＝1，

∴OM＝，

故答案为：．