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如图,直线AE与以AB为直径的⊙O相切于点A,点C、D在⊙O上,并分别位于AB的两侧,∠EAC=60°.
(1)求∠D的度数;
(2)当BC=4时,求劣弧AC的长.
分析:(1)由AE为圆O的切线,利用切线的性质得到BA与AE垂直,由∠EAC的度数求出∠BAC的度数,再由AB为圆O的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角,可得出∠B的度数,最后利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠D的度数;
(2)连接OC,由OB=OC,且∠B为60°,得到三角形BOC为等边三角形,得到OB=BC=4,∠BOC为60°,利用邻补角定义得到∠AOC为120°,由半径为4,利用弧长公式即可求出劣弧AC的长.
解答:解:(1)∵AE是⊙O的切线,
∴BA⊥AE,即∠BAE=90°,
∵∠EAC=60°,∴∠BAC=30°,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠B=∠ACB-∠BAC=60°,
∵∠B与∠D都是弧AC所对的圆周角,
∴∠D=∠B=60°;
(2)连接OC,
∵OB=OC,∠B=60°,
∴△OBC是等边三角形.
∴OB=BC=4,∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°,
∴劣弧AC的长=
120•π•4
180
=
8
3
π
点评:此题考查了切线的性质,以及弧长的计算,涉及的知识有:圆周角定理,直角三角形的性质,等边三角形的判定与性质,以及弧长公式,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
练习册系列答案
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如图①,直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.OA、OB的长度分别为a和b,且满足a2-2ab+b2=0.
(1)判断△AOB的形状.
(2)如图②,正比例函数y=kx(k<0)的图象与直线AB交于点Q,过A、B两点分别作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若AM=9,BN=4,求MN的长.
(3)如图③,E为AB上一动点,以AE为斜边作等腰直角△ADE,P为BE的中点,连接PD、PO,试问:线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明.
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⑴ 求∠D的度数;
⑵ 当BC=4时,求劣弧AC的长.

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⑴ 求∠D的度数;

⑵ 当BC=4时,求劣弧AC的长.

 

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