Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（-1，0），（5，0），（0，2）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；
①求S与t的函数关系式；
②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为抛物线过A、B、C三点，所以此三点的坐标使抛物线的解析式成立．
（2）①此题要分作两种情况进行讨论：
一、当P点位于原点左侧，线段OA上；此时0≤t＜1，可用t表示出OP、BP的长，欲求△BPF的面积，关键要求出BP边上的高，可过F作FD⊥x轴于D；由于∠CPF=90°，易证得△OPC∽△DFP，根据已知条件可知PF=PE=2PC，即两个相似三角形的相似比为2，那么DF=2OP，由此可得到DF的长，以BP为底，DF为高，即可求得△BPF的面积表达式，也就得到了关于S、t的函数关系式；
二、当P点位于原点右侧，线段BP上；此时1＜t＜6，可仿照一的方法进行求解；
②根据①得到的S、t的函数关系式，及相应的自变量的取值范围，即可根据函数的性质求得S的最大值及对应的t值，然后进行比较即可得到结果．
（3）当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：
①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t²-2t+5，那么PF²=（2CP）²=4（t²-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t²-2t+5=6-t，即t=

1+ 5

2

；
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2．

解答：解：（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），C（0，2）三点代入解析式得：

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=2

，
解得

a=- 2 5 b= 8 5 c=2

；
∴y=-

2

5

x2+

8

5

x+2；（3分）
（法二）设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴a=-

2

5

；
∴y=-

2

5

(x+1)(x-5)，
即y=-

2

5

x2+

8

5

x+2；（3分）

（2）①过点F作FD⊥x轴于D，
当点P在原点左侧时，BP=6-t，OP=1-t；
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，
∵∠FPD+∠CPO=90°，
∴∠PCO=∠FPD；
∵∠POC=∠FDP，
∴△CPO∽△PFD，（5分）
∴

FD

PO

=

PF

PC

；
∵PF=PE=2PC，
∴FD=2PO=2（1-t）；（6分）
∴S_△PBF=

1

2

BP×DF=t²-7t+6（0≤t＜1）；（8分）
当点P在原点右侧时，OP=t-1，BP=6-t；
∵△CPO∽△PFD，（9分）
∴FD=2（t-1）；
∴S_△PBF=

1

2

BP×DF=-t²+7t-6（1＜t＜6）；（11分）
②当0≤t＜1时，S=t²-7t+6；
此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，则有：
当t=0时，Smax=0-7×0+6=6；
当1＜t＜6时，S=-t²+7t-6；
由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；
综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25．

（3）能；（12分）
①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP²=t²-2t+5，那
么PF²=（2CP）²=4（t²-2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，
而PB的另一个表达式为：PB=6-t，
联立两式可得t²-2t+5=6-t，即t=

1+ 5

2

，
P点坐标为（

5 -1

2

，0），
则F点坐标为：（

5 +7

2

，

5

-1）；

②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2，
P点坐标为（1，0）．FD=2（t-1）=2，
则F点坐标为（5，2）．（14分）

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、以及三角形面积的求法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等重要知识点；在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．