Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连AC、OC，若AC=PC，∠P=30°．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是

AB

的中点，连结BM，试证明∠BCM=∠MBA．
（3）在（2）的条件下，若BC=

2

，求MN与MC的乘积．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形的性质由AC=PC得∠A=∠P=30°，而OC=OA，则∠A=∠OCA=30°，所以∠POC=2∠A=60°，根据三角形内角和定理可计算出∠OCP=180°-∠POC-∠P=90°，然后利用切线的判定定理即可得到PC是⊙O的切线；
（2）由于点M是

AB

的中点，即

AM

=

BM

，根据圆周角定理即可得到∠BCM=∠MBA；
（3）连结AM，根据圆周角定理得∠ACB=∠AMB=90°，在Rt△ACB中，可计算出AB=2BC=2

2

，再由

AM

=

BM

得到AM=BM，于是可判断△AMB为等腰直角三角形，所以BM=

2

2

AB=2，
然后证明△MBN∽△MCB，利用相似比可得MN•MC=BM²=4．

解答：（1）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P=30°，
而OC=OA，
∴∠A=∠OCA=30°，
∴∠POC=2∠A=60°，
∴∠OCP=180°-∠POC-∠P=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥PO，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵点M是

AB

的中点，
∴

AM

=

BM

，
∴∠BCM=∠MBA；
（3）连结AM，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AMB=90°，
在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=

2

，
∴AB=2BC=2

2

，
∵

AM

=

BM

，
∴AM=BM，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴BM=

2

2

AB=

2

2

×2

2

=2，
∵∠BCM=∠MBA，
而∠BMN=∠CMB，
∴△MBN∽△MCB，
∴MN：BM=BM：MC，
∴MN•MC=BM²=2²=4．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．