分析 (1)先确定出点A坐标,再用待定系数法求出反比例函数解析式;
(2)先求出直线AB解析式,进而得出点B坐标秒即可得出结论;
(3)利用相似三角形的性质得出AP,进而求出OP,再求出∠AOH=30°,最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论.
解答 解:(1)∵点A(m,3)在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上
∴3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m,
∴m=3$\sqrt{3}$,
∴点A(3$\sqrt{3}$,3),
∵点A(3$\sqrt{3}$,3)在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上,
∴k=3$\sqrt{3}$×3=9$\sqrt{3}$,
∴y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$;
(2)直线向上平移8个单位后表达式为:y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+8
∵AB⊥OA,直线AB过点A(3$\sqrt{3}$,3)
∴直线AB解析式:y=-$\sqrt{3}$x+12,
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+8=-$\sqrt{3}$x+12,
∴x=$\sqrt{3}$.
∴B($\sqrt{3}$,9),
∴AB=4$\sqrt{3}$
在Rt△AOB中,OA=6,
∴tan∠AOB=$\frac{4\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(3)如图,∵△APB∽△ABO,
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AB}{OA}$,
由(2)知,AB=4$\sqrt{3}$,OA=6
即$\frac{AP}{4\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{6}$
∴AP=8,
∵OA=6,
∴OP=14,
过点A作AH⊥x轴于H
∵A(3$\sqrt{3}$,3),
∴OH=3$\sqrt{3}$,AH=3,
在Rt△AOH中,
∴tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠AOH=30°
过点P作PG⊥x轴于G,
在Rt△APG中,∠POG=30°,OP=14,
∴PG=7,OG=7$\sqrt{3}$
∴P(7$\sqrt{3}$,7).
点评 此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,锐角三角函数的意义,相似三角形的性质,含3°角的直角三角形的性质,解(1)的关键是求出点A的坐标,解(2)的关键是求出点B的坐标,解(3)的关键是求出OP,是一道中等难度的中考常考题.
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