Question

如图，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，点C在⊙O上，AE⊥DC交
DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=8，AC=10，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OC∥AE，根据平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，再判断Rt△AEC∽Rt△ACB，然后利用相似比可计算出AB，从而得到⊙O的半径．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OC⊥CD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠1=∠3，
∴Rt△AEC∽Rt△ACB，
∴

AE

AC

=

AC

AB

，即

8

10

=

10

AB

，
∴AB=

25

2

，
∴⊙O的半径为

25

4

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．