Question

已知：如图，M是线段BC的中点，BC=4，分别以MB、MC为边在线段BC的同侧作等边△BAM、等边△MCD，连接AD

1.求证：四边形ABCD是等腰梯形

2.将△MDC绕点M逆时针方向旋转α(60º<α<120º)，得到△MD´C´，MD´交AB于点E，MC´交AD于点F，连接EF．

①求证：EF∥D´C´；

②△AEF的周长是否存在最小值?如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值.

 

Answer 1

 

1.见解析

2.存在最小值。当ME最小时，即ME⊥AB2+

解析:(1) 等边△BAM、等边△MCD

             ∴AB=AM=BM,CD=CM=DM,∠ABM=∠AMB=60º,∠DCM=∠DMC=60º

               M是线段BC的中点

               ∴MB=MC

               ∴AM=DM, ∠AMD=60º

              ∴ ∠DAM=60º

              ∴AD∥BC

                ∠B= ∠C

             ∴ 四边形ABCD是等腰梯形

          (2) ①∠EMA=α-60º,∠FMD=α-60º

              ∴∠EMA=∠FMD

             ∠BAM=∠ADM,AM=DM

            ∴△AEM≌△DMF

              ∴ME=MF

              MD´= MC´

              ∴EF∥D´C´

          ②存在最小值。当ME最小时，即ME⊥AB，周长=1+1+=2+