Question

【题目】已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB，

∵AC是⊙O直径，

∴∠ABC=90°，

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠C，

∵∠PBA=∠C，

∴∠PBA=∠OBC，

即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，

∴OB⊥PB，

∵OB为半径，

∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，

∴△OBC为等边三角形，

∴BC=OB，

∵OP∥BC，

∴∠CBO=∠POB，

∴∠C=∠POB，

在△ABC和△PBO中

∵ ，

∴△ABC≌△PBO（ASA），

∴AC=OP=8，

即⊙O的半径为4．

【解析】（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠C，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）证△ABC≌△PBO（ASA），进而得出⊙O的半径．
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的判定定理(切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．