Question

现有一形如直角三角板的三角形ABC（如图1），其中∠C=90°，∠A=45°，该三角形内有一个半径为1cm的⊙O，圆心O到三边的距离均为

2

cm．将△ABC绕点C逆时针方向旋转，旋转角为α （0°＜α≤90°），旋转后的三角形记为△EFC，⊙O记为⊙P．
（1）当α=45°时（如图2），试判断EF与CB的位置关系并说明理由；
（2）当⊙P与⊙O相外切时（如图3），①求旋转角α；②求⊙P扫过的面积；
（3）当CF与⊙O相切时，则sinα=

6 + 2

4

或

6 - 2

4

（直接写出答案，结果保留根号）．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的锐角是45°，旋转角是45°，即可得到∠F=∠FCB，从而判断EF∥BC；
（2）①根据两圆外切的性质：圆心距等于半径的和，即可求得OP的长，求得OC的长，则△OPC的形状即可判断，从而求得旋转角；
②根据⊙P扫过的面积S=S_扇形CIJ-S_扇形CGH+S_⊙O，利用扇形的计算公式和圆的面积公式即可求解；
（3）首先求得旋转角，即可得到．

解答：解：（1）EF∥CB．
理由：∵当α=45⁰时，∠F=∠FCB，
∴EF∥CB；                         

（2）连接CO、CP，作OM⊥BC于M．
在直角△OCM中，OM=

2

，∠OCM=45°，
则OC=2，则OC=CP=2，
①∵当⊙P与⊙O相外切时，OP=2cm，
∴CO=CP=OP
∴∠PCO=60°
∴旋转α=60°
②S_扇形CIJ-S_扇形CGH=

60

360

•π•32-

60

360

•π•12=

4

3

π
则S=S_扇形CIJ-S_扇形CGH+S_⊙O=

4

3

π+π=

7

3

π；

（3）当如图（1）时，作PN⊥AC，
则在直角△PNC中，
∵PN=1，CP=2，
∴∠PCN=30°，
∵∠ACO=45°，
∴∠PCO=75°，即α=75°
则sinα=sin75°=

6 + 2

4

；
当如图（2）时，连接OC、PC，设⊙P与AC切于点Q，连接PQ．
则∠ACP=30°，∠ACO=45°，
因而旋转角α=∠ACO-∠ACP=15°，
则sinα=sin15°=

6 - 2

4

．
故答案是：

6 + 2

4

或

6 - 2

4

．

点评：本题考查了扇形的面积公式，切线的性质，以及三角函数，正确作出（3）中的两种情况的图形，求得旋转角的度数是关键．