Question

【题目】如图，在矩形中，，，问：能否在边上找一点，使点与、的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形？若能找到，这样的点有几个？若不能找到，请说明理由．

Answer 1

【答案】若，，，方程无解，点不存在；若，当时，，方程有等根，满足条件的点有且只有一个；若，，则当时，，方程有两个不相等的正根，满足条件的点有两个.

【解析】

假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设AE=x，则，即，于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．

假设在边上存在点，使，

又设，则，即，即得

∵，所以有

若，，，方程无解，点不存在；

若，当时，，方程有等根，满足条件的点有且只有一个；

若，，则当时，，方程有两个不相等的正根，满足条件的点有两个.