Question

如图，菱形ABCD中，∠BCD=120°，点F是BD上一点，EF⊥CF，AE⊥EF，AE=3，EF=4，求AB长．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：如图所示，连接AC交BD于H，延长AE与BC交于点M，交BH于点N，根据菱形的性质可以得到△ABC是等边三角形，∠BCA=60°，构造△ANH≌△CHF，利用勾股定理求得线段AN、NF、CH的长度可以求得AM的长度，即可得到答案．

解答：解：如图所示，连接AC交BD于H，延长AE与BC交于点M，交BH于点N，
在△ANH和△CHF中，

∠AHN=∠AHF ∠ANH=∠CHF AH=CH

∴△ANH≌△CHF（　AAS　），
∴NH=HF，AN=CF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴∠BCA=60°，且BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC
又∵EF⊥CF，AE⊥EF，AE=3，EF=4，根据勾股定理：
∴AF=CF=AN=5，EN=2，
又∵EF=4，
∴NF=

EN2+EF2

=2

5

，
∴NH=HF=

5

，
∴CH=

CF2-HF2

=2

5

，
∴AB=BC=

CH

sin300

sin30°=2

5

÷

1

2

=4

5

．

点评：本题考查了三角形全等菱形的性质以及勾股定理的综合应用，构造全等三角形是解答本题的关键．