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(2002•娄底)已知抛物线经过三点A(4,3),B(x1,0),C(x2,0),且x1、x2是方程x2-6x-3+17=0的两根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线y=2x+h与该抛物线相交于两点M(m,y1)、N(n,y2),m、n满足关系式m2+n2=12,求这条直线的解析式.
【答案】分析:(1)求抛物线解析式的关键是确定B、C两点的坐标,可通过解方程求出x1,x2的值来得出B、C的坐标(可先将无理方程通过去根号转换为有理方程,然后再进行求解),得出B、C坐标后,可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)直线与抛物线有交点,那么可联立两函数式,可得出一个关于x的一元二次方程,两函数交点的横坐标即为此方程的根,根据一元二次方程根与系数的关系及m2+n2=12,即可求出抛物线的解析式.
解答:解:(1)设y=则无理方程变为y2-3y-4=0.
解得y=4,y=-1(舍去);
∴4=,化简得x2-6x+5=0.
∴A、B两点的坐标为(1,0)和(5,0).
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.依题意,得:

解得
∴所求抛物线的解析式为y=-x2+6x-5.

(2)由题意知:-x2+6x-5=2x+h.
即x2-4x+5+h=0;
∴m+n=4,m•n=5+h;
又m2+n2=12
∴(m+n)2-2mn=12,
即42-2(5+h)=12.
解得h=-3;
当h=-3时,△=(-4)2-4×1×2>0成立.
∴直线的解析式为y=2x-3.
点评:本题主要考查了无理方程的解法、二次函数解析式的确定、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系等知识点.
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