Question

5．如图，正六边形的面积为120，P是其内任意一点，求三角形PBC和三角形PEF的面积之和是多少？

Answer 1

分析 假设P到BC 的距离为h1，P到EF 的距离为h2，BC到EF的距离为h，则h1+h2=h．再假设正六边形边长为a，中心到各边的距离为d，则h=2d；然后利用面积公式可得出△PBC的面积+△PEF的面积和，再与正六边形比较，得出正六边形的面积是△PBC的面积+△PEF的面积和的三倍，从而得出答案．

解答 解：假设P到BC 的距离为h1，P到EF 的距离为h2，BC到EF的距离为h，则h1+h2=h．再假设正六边形边长为a，中心到各边的距离为d，则h=2d；
△PBC的面积+△PEF的面积
=a×h1÷2+a×h2÷2
=a×（h1+h2）÷2
=a×h÷2
=a×2d÷2
=ad，
正六边形的面积=（a×d÷2）×6
=3ad，
所以正六边形的面积=3（△PBC的面积+△PEF的面积）
所以△PBC的面积+△PEF的面积=$\frac{120}{3}$=40．
答：△PBC的面积和△PEF的面积之和为40．

点评 本题考查正六边形的性质，三角形的面积等知识，解答此题的关键是得出正六边形的面积是△PBC的面积+△PEF的面积和的三倍．