Question

12．已知抛物线y=x²-2mx+m²-1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x-1．
（1）求证：点P在直线l上．
（2）若抛物线的对称轴为x=-3，直接写出该抛物线的顶点坐标（-3，-4），与x轴交点坐标为（-5，0），（-1，0）．
（3）在（2）条件下，抛物线上点（-2，b）在图象上的对称点的坐标是（-4，-3）．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到y=（x-m）²+m-1，点P（m，m-1），然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上；
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为x=m，结合已知条件则可得m=-3，进而可求出抛物线的顶点坐标；设y=0，则x轴交点坐标也可求出；
（3）把点（-2，b）代入抛物线解析式可求出b的值，进而可求出在图象上的对称点的坐标．

解答 解：
（1）证明：∵y=x²-2mx+m²+m-1=（x-m）²+m-1，
∴点P的坐标为（m，m-1），
∵当x=m时，y=x-1=m-1，
∴点P在直线l上；
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为x=m，
∵x=-3，
∴m=-3，
∴该抛物线的顶点坐标是（-3，-4），
设y=0，则0=x²+6x+5，
解得：x=-5或-1，
∴抛物线与x轴交点坐标为（-5，0），（-1，0），
故答案为：（-3，-4），
（2）把点（-2，b）代入y=x²+6x+5得：b=-3，
∵抛物线对称轴为x=-3，
∴（-2，-3）的对称点为（-4，-3），
故答案为：（-4，-3）．

点评 本题考查了二次函数图象以及二次函数的性质，会求抛物线与x的交点坐标；理解抛物线的对称性是解题的关键．