Question

12．已知y=kx+b过点A（4，2），与x轴的正半轴交于B点，且OB＜4
（1）若OB=2，求k和b的值；
（2）过点B作直线AB的垂线与y轴交于点C，D是x轴正半轴上一点，且∠ADB=45°，设BD=m，OC=n，当2.5≤m≤4时，求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件可知B点坐标为（2，0），由A、B的坐标，利用待定系数法可求得k、b的值；
（2）过A作AE⊥x轴于点E，由条件则可求得D点坐标，用m可表示出BE，由条件可证明△AEB∽△BOC，由相似三角形的性质可用m表示出n，则可把m+n化为关于m的二次函数，再结合m的取值范围可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵OB=2且B点在x轴的正半轴上，
∴B（2，0），且A（4，2），
代入y=kx+b可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$；

（2）如图，过A作AE⊥x轴于点E，

∵OB＜4，且∠ADB=45°，
∴点D在点B的右侧，
∵A（4，2），
∴AE=DE=2，OE=4，
∴OD=6，
∵BD=m，
∴BE=m-2，OB=6-m，
∵BC⊥AB，
∴∠CBO+∠ABE=∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBO=∠BAE，且∠COB=∠AEB，
∴△BOC∽△AEB，
∴$\frac{BO}{AE}$=$\frac{CO}{BE}$，即$\frac{6-m}{2}$=$\frac{n}{m-2}$，
∴n=$\frac{1}{2}$（6-m）（m-2）=-$\frac{1}{2}$m²+4m-6，
∴m+n=m+（-$\frac{1}{2}$m²+4m-6）=-$\frac{1}{2}$m²+5m-6=-$\frac{1}{2}$（m-5）²+6.5，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，且对称轴为m=5，
∴当2.5≤m≤4时，m+n随m的增大而增大，
∴当m=4时，m+n有最大值，最大值为6．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的利用，在（2）中求得D点坐标，利用相似三角形的性质找到n与m的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．