Question

如图，以AB为直径的半圆O上有一点C，过A点作半圆的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：△ADC∽△BDA；
（2）过O点作AC的平行线OF分别交BC，

BC

于E、F两点，若BC=2

3

，EF=1，求

AC

的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质知：∠BAD=90°，由AB为半圆O的直径，可得：∠ACD=90°，再根据∠ADC=∠BDA，故：△ADC∽△BDA；
（2）作辅助线，连接OC，在Rt△OBE中，根据勾股定理可将半径求出，进而可将∠OBE和∠AOC的度数求出，代入弧长公式进行求解即可．

解答：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
∵AD为半圆O的切线，
∴∠BAD=90°，
∴∠ACD=∠BAD．
又∵∠ADC=∠BDA，
∴△ADC∽△BDA．

（2）解：连接OC，
∵OE∥AC，
∴OE⊥BC，
∴BE=EC=

3

．
在Rt△OBE中，设OB=x，则有：x²=（

3

）²+（x-1）²
∴x=OB=2，
∴OE=1，
∴∠OBE=30°，
∴∠AOC=60°，
∴

AC

的长=

60π×2

180

=

2π

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定及弧长的计算问题．