Question

7．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED•EA=EC•EB；
（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=$\frac{3}{5}$，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=$\frac{3}{5}$，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）只要证明△EDC∽△EBA，可得$\frac{ED}{EB}$=$\frac{EC}{EA}$，即可证明ED•EA=EC•EB；
（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．想办法求出EB，AG即可求出△ABE的面积，即可解决问题；
（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH=4，DH=3，作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a，只要证明△AFG∽△CEH，可得$\frac{AG}{CH}$=$\frac{FG}{EH}$，即$\frac{4a}{5+n-3a}$=$\frac{4}{n+3}$，求出a即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵∠ADC=90°，∠EDC+∠ADC=180°，
∴∠EDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EDC=∠ABC，
∵∠E=∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴$\frac{ED}{EB}$=$\frac{EC}{EA}$，
∴ED•EA=EC•EB．

（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．

在Rt△CDF中，cos∠ADC=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{3}{5}$，∵CD=5，
∴DF=3，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=4，
∵S_△CDE=6，
∴$\frac{1}{2}$•ED•CF=6，
∴ED=$\frac{12}{CF}$=3，EF=ED+DF=6，
∵∠ABC=120°，∠G=90°，∠G+∠BAG=∠ABC，
∴∠BAG=30°，
∴在Rt△ABG中，BG=$\frac{1}{2}$AB=6，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵CF⊥AD，AG⊥EB，
∴∠EFC=∠G=90°，∵∠E=∠E，
∴△EFC∽△EGA，
∴$\frac{EF}{EG}$=$\frac{CF}{AG}$，
∴$\frac{6}{EG}$=$\frac{4}{6\sqrt{3}}$，
∴EG=9$\sqrt{3}$，
∴BE=EG-BG=9$\sqrt{3}$-6，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABE-S_△CDE=$\frac{1}{2}$（9$\sqrt{3}$-6）×6$\sqrt{3}$-6=75-18$\sqrt{3}$．

（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH=4，DH=3，

∴tan∠E=$\frac{4}{n+3}$，
作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a，
∴FG=DF-DG=5+n-3a，
∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E=∠F，
易证△AFG∽△CEH，
∴$\frac{AG}{CH}$=$\frac{FG}{EH}$，
∴$\frac{4a}{5+n-3a}$=$\frac{4}{n+3}$，
∴a=$\frac{n+5}{n+6}$，
∴AD=5a=$\frac{5（n+5）}{n+6}$．

点评 本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．