Question

2．如图，C为射线AB上一点，AB=30，AC比BC的$\frac{1}{4}$多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：
①BC=2AC；②AB=4NQ；③当PB=$\frac{1}{2}$BQ时，t=12，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据AC比BC的$\frac{1}{4}$多5可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t=30s，当P到达B时，此时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置．

解答 解：设BC=x，
∴AC=$\frac{1}{4}$x+5
∵AC+BC=AB
∴x+$\frac{1}{4}$x+5=30，
解得：x=20，
∴BC=20，AC=10，
∴BC=2AC，故①成立，
∵AP=2t，BQ=t，
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP=AB-AP=30-2t，
∵M是BP的中点
∴MB=$\frac{1}{2}$BP=15-t
∵QM=MB+BQ，
∴QM=15，
∵N为QM的中点，
∴NQ=$\frac{1}{2}$QM=$\frac{15}{2}$，
∴AB=4NQ，
当15＜t≤30时，
此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP-AB=2t-30，
∵M是BP的中点
∴BM=$\frac{1}{2}$BP=t-15
∵QM=BQ-BM=15，
∵N为QM的中点，
∴NQ=$\frac{1}{2}$QM=$\frac{15}{2}$，
∴AB=4NQ，
当t＞30时，
此时点P在Q的右侧，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP-AB=2t-30，
∵M是BP的中点
∴BM=$\frac{1}{2}$BP=t-15
∵QM=BQ-BM=15，
∵N为QM的中点，
∴NQ=$\frac{1}{2}$QM=$\frac{15}{2}$，
∴AB=4NQ，
综上所述，AB=4NQ，故②正确，
当0＜t≤15，PB=$\frac{1}{2}$BQ时，此时点P在线段AB上，
∴AP=2t，BQ=t
∴PB=AB-AP=30-2t，
∴30-2t=$\frac{1}{2}$t，
∴t=12，
当15＜t≤30，PB=$\frac{1}{2}$BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP=2t，BQ=t，
∴PB=AP-AB=2t-30，
∴2t-30=$\frac{1}{2}$t，
t=20，
当t＞30时，此时点P在Q的右侧，
∴AP=2t，BQ=t，
∴PB=AP-AB=2t-30，
∴2t-30=$\frac{1}{2}$t，
t=20，不符合t＞30，
综上所述，当PB=$\frac{1}{2}$BQ时，t=12或20，故③错误；
故选（C）

点评 本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．