Question

【题目】如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（ ）

A.∠1＋∠2＝90°B.2∠2－∠1＝30°

C.2∠1＋∠2＝180°D.∠1－∠2＝90°

Answer 1

【答案】D

【解析】

如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，根据轴对称可得∠OPM=∠OPM′，根据对顶角相等可得∠OPM′=∠QPN，根据三角形的外角的性质可得∠OPM=∠1∠O=∠130°，由此可得∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠130°)，与此类似可得∠OQP=∠3=30°+∠2，在△MQP中，根据三角形的内角和定理可求得∠1∠2=90°.

如图,作M关于OB的对称点M′,N关于OA的对称点N′,连接M′N′交OA于Q，交OB于P，

则MP+PQ+QN最小，

∵∠1=∠O+∠OPM，

∴∠OPM=∠1∠O=∠130°，

∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，

∴∠OPM=∠QPN=∠130°，

∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠130°)

∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2,

∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA

∴∠OQP==∠3=30°+∠2,

∴∠130°+∠2=2(30°+∠2)，

在△MQP 中，

∠1+∠OQP+∠QPM=180°，

即∠1+30°+∠2+180°-2(∠130°)=180°，

化简得∠1∠2=90°.

故选D.