Question

如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊性状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．
（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）
（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学记算器）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平行线的性质得出雨刮杆AB旋转的最大角度，再利用锐角三角函数关系和勾股定理求出EO，AE，BO的长即可；
（2）根据雨刮杆AB扫过的最大面积即为以BO为半径的半圆，进而得出答案即可．
解答：解：（1）如图所示：A点转到C点，B点转到D点，启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，
故雨刮杆AB旋转的最大角度为：180°，
过点O作OE⊥BA，交BA延长线于点E，连接BO，
∵∠OAB=120°，
∴∠OAE=60°，
∴∠EOA=30°，
∵OA长为10cm，
∴EA=OA=5（cm），
∴EO==5（cm），
∵AB长为48cm，
∴EB=48+5=53（cm），
∴BO===2≈53.70（cm）；
答：雨刮杆AB旋转的最大角度为180°，O、B两点之间的距离为53.70cm；

（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，
∴△BAO≌△DCO，∴S△BAO=S△DCO，
∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=π（OB²-OA²）=1392π（cm²）．
答：雨刮杆AB扫过的最大面积为1392πcm²．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理和扇形面积求法、勾股定理等知识，利用平行线的性质得出旋转的最大角是解题关键．