Question

【题目】已知抛物线y=ax2经过点A（2，1）．

（1） 求a的值；

（2） 如图1，点M为x轴负半轴上一点，线段AM交抛物线于N．若△OMN为等腰三角形，求点N的坐标；

（3） 如图2，直线y=kx－2k＋3交抛物线于B、C两点，过点C作CP⊥x轴，交直线AB于点P，请说明点P一定在某条确定的直线上运动，求出这条直线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）N（﹣1，）；（3）y=x﹣3．

【解析】

（1）A（2，1）代入抛物线方程，解方程即可得到a的值；

（2）设点M（m，0），求出AM所在直线的表达式，MN=ON时，过点N作NH⊥OM，求出OH，HN的长，得出N的坐标，把N点坐标代入抛物线表达式求解即可得出结论；

（3）设：点C（x1，y1），B（x2，y2），P（x1，y），则：x2=kx﹣2k+3，由根与系数的关系得：x1+x2=4k，x1x2=8k﹣12，…①，y2②，把A、B坐标代入直线方程，解得AB所在的直线方程，把点P（x1，y）、①、②代入方程，整理即可得到结论．

（1）A（2，1）代入抛物线方程，解得：a；

（2）设点M（m，0），把点A、M坐标代入直线表达式得：

AM所在直线的表达式为：yx．

从图象位置关系看，△OMN为等腰三角形时，只有MN=ON这一种情况，过点N作NH⊥OM，则OH=MH，HN=MHtan∠AMH，则N（，），把N点坐标代入抛物线表达式解得：m=﹣2，m=4（舍去）；则N（-1，）．

经验证：MN=OM，OM=ON无解．故：N（﹣1，）；

（3）设：点C（x1，y1），B（x2，y2），P（x1，y），则：x2=kx﹣2k+3，则：x1+x2=4k，x1x2=8k﹣12，…①，y2②，把A、B坐标代入直线方程，解得：

AB所在的直线方程为：y，把点P（x1，y）、①、②代入上式，整理得：y=x1﹣3，这条直线的解析式为：y=x﹣3．