分析 (1)根据圆周角定理求得AD⊥BC,根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论;
(2)先求得∠E=∠C,根据等角对等边求得BD=DC=DE=3,进而求得AD=1,然后根据勾股定理求得AB,即可求得圆的半径;
(3)根据题意得到AC=$\sqrt{10}$,BC=6,DC=3,然后根据割线定理即可求得EC,进而求得AE.
解答 (1)证明:∵AB是圆O的直径,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=DC;
(2)解:∵AB=AC,
∠B=∠C,
∵∠B=∠E,
∴∠E=∠C,
∴BD=DC=DE=3,
∵BD-AD=2,
∴AD=1,
在RT△ABD中,AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$,
∴⊙O的半径为$\frac{\sqrt{10}}{2}$;
(3)解:∵AB=AC=$\sqrt{10}$,BD=DC=3,
∴BC=6,
∵∠B=∠E,∠C=∠C,
∴△EDC∽△BAC,
∵AC•EC=DC•BC,
∴$\sqrt{10}$•EC=3×6,
∴EC=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$,
∴AE=EC-AC=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$-$\sqrt{10}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$.
点评 本题考查了圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,勾股定理的应用以及割线定理的应用,熟练掌握性质定理是解题的关键.
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A. | 32° | B. | 64° | C. | 77° | D. | 87° |
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