Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA=PD．
（1）图中除了△ABE≌△DCF外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）；
（2）求证：△ABE≌△DCF．

Answer 1

分析：（1）AP=DP?∠PAD=∠PDA，∠BAD=∠CDA?∠BAP=∠CDP，
∵AB=DC PA=PB?△ABP≌△DCP；
△ABE≌△DCF?∠AEB=∠DFC?∠BEP=∠CFP，又∠BPE=∠CPF，BP=CP?△BEP≌△CEP；
△BFP≌△CEP也可以推理得到．
（2）AP=DP?∠PAD=∠PDA，又∠BAD=∠CDA?∠BAP=∠CDP．
∵AB=DC，∠ABE=∠DCF?△ABE≌△DCF．

解答：（1）解：△ABP≌△DCP；△BEP≌△CEP；△BFP≌△CEP．（3分）

（2）证明：∵AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∴∠BAD=∠CDA，∠ABE=∠DCF．（4分）
又∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∴∠BAD-∠PAD=∠CDA-∠PDA．
即∠BAP=∠CDP．（6分）
在△ABE和△DCF中，

∠BAP=∠CDP AB=DC ∠ABE=∠DCF

∴△ABE≌△DCF．（7分）

点评：本题要熟练等腰梯形的性质，并且考查判定三角形全等的方法，难度属于中等．