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已知抛物线y=mx2-(m-5)x-5(m>0)与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),与y轴交于点C,且AB=6.
(1)求抛物线和直线BC的解析式;
(2)在给定的直角坐标系中,画出抛物线和直线BC;
(3)若⊙P过A、B、C三点,求⊙P的半径;
(4)抛物线上是否存在点M,过点M作MN⊥x轴于点N,使△MBN被直线BC分成面积比为1:3的两部分?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)由题意得:x1+x2=
m-5
m
,x1•x2=
-5
m
,x2-x1=6
则(x1+x22-4x1x2=36,(
m-5
m
2+
20
m
=36
解得:m1=1,m2=-
5
7

经检验m=1,
∴抛物线的解析式为:y=x2+4x-5
或:由mx2-(m-5)x-5=0得,x=1或x=-
5
m

∵m>0,
∴1-
-5
m
=6,
∴m=1.
∴抛物线的解析式为y=x2+4x-5
由x2+4x-5=0得x1=-5,x2=1
∴A(-5,0),B(1,0),C(0,-5).
设直线BC的解析式为y=kx+b,
b=-5
k+b=0

b=-5
k=5

∴直线BC的解析式为y=5x-5;

(2)如图1;

(3)如图2,由题意,圆心P在AB的中垂线上,即在抛物线y=x2+4x-5的对称轴直线x=-2上,
设P(-2,-h)(h>0),(6分)
连接PB、PC,则PB2=(1+2)2+h2,PC2=(5-h)2+22
由PB2=PC2
即(1+2)2+h2=(5-h)2+22,解得h=2.
∴P(-2,-2),
∴⊙P的半径PB=
(1+2)2+22
=
13


(4)如图3,设MN交直线BC于点E,点M的坐标为(t,t2+4t-5),则点E的坐标为(t,5t-5).
若S△MEB:S△ENB=1:3,则ME:EN=1:3.
∴EN:MN=3:4,
∴t2+4t-5=
4
3
(5t-5).
解得t1=1(不合题意舍去),t2=
5
3

∴M(
5
3
40
9
).
若S△MEB:S△ENB=3:1,则ME:EN=3:1.
∴EN:MN=1:4,
∴t2+4t-5=4(5t-5).
解得t3=1(不合题意舍去),t4=15,
∴M(15,280).
∴存在点M,点M的坐标为(
5
3
40
9
)或(15,280).
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如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=
8
2
5
x2+bx+c经过点A(
3
2
,0)和点B(1,2
2
),与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE.
①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;
②点F是OB的中点,点M是直线BD的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=
1
3
∠MFO时,请直接写出线段BM的长.

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2
D.2011
2

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