分析 (1)先证出△ABP≌△CBP,得PA=PC,由于PA=PE,得PC=PE;
(2)由△ABP≌△CBP,得∠BAP=∠BCP,进而得∠DAP=∠DCP,由PA=PC,得到∠DAP=∠E,∠DCP=∠E,最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论;
(3)借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论.
解答 (1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,
即∠CPF=∠EDF=90°;
(3)在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,
在△ABP和△CBP中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴PC=PE,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PC,
∴∠DAP=∠AEP,
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP,
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°,
∴△EPC是等边三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE.
点评 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键.
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A. | (3,-3) | B. | (-3,3) | C. | (3,3)或(-3,-3) | D. | (3,-3)或(-3,3) |
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A. | 3.79×103 | B. | 3.79×104 | C. | 3.79×105 | D. | 0.379×106 |
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