Question

图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A₁的直线分别与BC₁、BE交于点M、N，且图1被直线MN分成面积相等的上、下两部分．

（1）求

1

MB

+

1

NB

的值；
（2）求MB、NB的长；
（3）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，求点M、N间的距离．

Answer 1

分析：（1）本题可通过相似三角形A₁B₁M和NBM得出的关于NB，A₁B₁，MB，MB₁的比例关系式来求，比例关系式中A₁B₁，BB₁均为正方形的边长，长度都是1，因此可将它们的值代入比例关系式中，将所得的式子经过变形即可得出所求的值；
（2）由于直线MN将图（1）的图形分成面积相等的两部分，因此△BMN的面积为

5

2

，由此可求出MB•NB的值，根据（1）已经得出的MB+NB=MB•NB可求出MB+NB的值，由此可根据韦达定理列出以MB，NB为根的一元二次方程，经过解方程即可求出MB、NB的值；
（3）根据（2）的结果，不难得出B₁M=EN，由于折叠后E与B点重合，因此B₁M=BN，那么四边形B₁MNB是个矩形，因此MN的长为正方形的边长．

解答：解：（1）∵△A₁B₁M∽△NBM且A₁B₁=BB₁=1，
∴

NB

A1B1

=

MB

MB1

，
即

NB

1

=

MB

MB-1

整理，得MB+NB=MB•NB，
两边同除以MB•NB得

1

MB

+

1

NB

=1；

（2）由题意得

1

2

MB•NB=

5

2

，
即MB•NB=5，
又由（1）可知MB+NB=MB•NB=5，
∴MB、NB分别是方程x²-5x+5=0的两个实数根．
解方程，得x₁=

5+ 5

2

，x₂=

5- 5

2

；
∵MB＜NB，
∴MB=

5- 5

2

，NB=

5+ 5

2

；

（3）由（2）知B₁M=

5- 5

2

-1=

3- 5

2

，
EN=4-

5+ 5

2

=

3- 5

2

，
∵图（2）中的BN与图（1）中的EN相等，
∴BN=B₁M；
∴四边形BB₁MN是矩形，
∴MN的长是1．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，一元二次方程的应用等知识点，综合性比较强．