Question

7．如图，二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象与x轴交于两点A（2，0），B（4，0）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）该图需向左平移3±$\sqrt{3}$个单位；使图象过点（0，-1）
（3）把原二次函数的图象向上平移，设平移后新二次函数的图象顶点为P，与x轴交于点C，D，使△CDP是正三角形，求出平移后的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式；
（2）设该图象向左平移a个单位后图象过点（0，-1），根据平移的性质找出平移后的解析式，代入点（0，-1）即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（3）设平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4+m（m＞0），找出其顶点坐标，再令y=0根据跟与系数的关系找出|x_D-x_C|的值，根据等边三角形的性质即可得出关于m的无理方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（2，0）、B（4，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{0=-2+2b+c}\\{0=-8+4b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴这个二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4．
（2）设该图象向左平移a个单位后图象过点（0，-1），
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{1}{2}$，
∴平移后的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+a-3）²+$\frac{1}{2}$．
∵点（0，-1）在平移后的抛物线图象上，
∴-1=-$\frac{1}{2}$（a-3）²+$\frac{1}{2}$，
解得：a=3±$\sqrt{3}$．
故答案为：3±$\sqrt{3}$．
（3）设平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{1}{2}$+m=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4+m（m＞0），
∴抛物线的顶点P的纵坐标为（3，m+$\frac{1}{2}$）．
当y=0时，有-$\frac{1}{2}$x²+3x-4+m=0，
∴x_C+x_D=6，x_C•x_D=8-2m．
∵△CDP是正三角形，
∴|x_D-x_C|=$\sqrt{（{x}_{C}+{x}_{D}）^{2}-4{x}_{C}•{x}_{D}}$=2$\sqrt{1+2m}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（m+$\frac{1}{2}$），
解得：m₁=$\frac{11}{2}$，m₂=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
经检验m=$\frac{11}{2}$是方程2$\sqrt{1+2m}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（m+$\frac{1}{2}$）的解．
∴平移后的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、平移的性质以及正三角形的性质，熟练掌握平移的性质“上加下减，左加右减”是解题的关键．