Question

3．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的直径，AB是弦，PA∥BC交AB于点D
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）当BC=2$\sqrt{2}$，cos∠AOD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，求PB的长．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质，得到∠PAO=90°，由圆周角定理得到∠ABC=90°，根据平行线的性质得到PO⊥AB，根据垂径定理得到AD=BD，然后根据垂直平分线的性质得到PA=PB，进而证得三角形全等得到∠PAO=∠PBO．由于PA为⊙O的切线，得到∠PAO=90°，即可得到结果；
（2）根据平行线的性质得到cos∠ACB=cos∠AOD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，解直角三角形求得AC，进一步得到OA，解直角三角形得到OP，由勾股定理列方程即可得到PA的长，从而求得PB的长．

解答 （1）证明：∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵PO∥BC，
∴∠ADO=∠ABC=90°，即PO⊥AB，
∴AD=BD，
∴PA=PB，
在△APO和△BPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{OP=OP}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠PBO=90°
∴PB是⊙O的切线．

（2）∵PO∥BC，
∴∠ACB=∠AOD，
∴cos∠ACB=cos∠AOD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴AC=2$\sqrt{2}$÷$\frac{\sqrt{2}}{4}$=8，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵cos∠AOP=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴OP=8$\sqrt{2}$，
∴AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
∵PA=PB，
∴PB=4$\sqrt{7}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．