Question

1．已知△ABC，△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90°，连AF、CF，点M为AF的中点，连EM，将△BEF绕点B旋转．
（1）如图1，猜想CF与EM的数量关系CF=2EM；
（2）利用你所学的知识，证明你（1）中得到的结论；
（3）如图2，过B点作BN⊥EM，交ME的延长线于N点，若BN=4，EN=2，BC=10，请求出此时∠CBF与∠BCF之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）CF与EM的数量关系为CF=2EM；
（2）延长FE到点G，使EG=EF，如图1，连结AG、BG，先证明ME为△FAG的中位线得到AG=2ME，再证明△ABG≌△CBF得到AG=CF，于是有CF=2EM；
（3）延长FE到点G，使EG=EF，如图2，连结AG、BG，作FH⊥ME于H，交AG于L，延长BN交AG于K，由△ABG≌△CBF得AG=CF，再证明△FEH≌△EBN得到FH=EN=2，HE=BN=4，利用ME为△FAG的中位线得到FH=HL=2，ME∥AG，接着利用四边形HLKN为矩形得到NK=HL=2，KL=HN=6，所以BK=6，于是利用勾股定理可计算出AK=8，然后求出AG=10，这样可得到CB=CF，则∠CFB=∠CBF，最后利用三角形内角和确定∠CBF与∠BCF之间的数量关系．

解答 （1）解：CF与EM的数量关系为CF=2EM；
故答案为CF=2EM；
（2）证明：延长FE到点G，使EG=EF，如图1，连结AG、BG，
∵M点为AF的中点，
而EF=EG，
∴ME为△FAG的中位线，
∴AG=2ME，
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BEF=90°，BE=EF，
而EF=EG，
∴△BEG为等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠EBG=45°，
∴△FBG为等腰直角三角形，
∴BF=BG，∠FBG=90°，
∵∠ABG+∠ABF=90°，∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠ABG=∠CBF，
在△ABG和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABG=∠CBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBF，
∴AG=CF，
∴CF=2ME；
（3）延长FE到点G，使EG=EF，如图2，连结AG、BG，作FH⊥ME于H，交AG于L，延长BN交AG于K，
由（2）得△ABG≌△CBF，
∴AG=CF，
∵∠FEH+∠BEN=90°，∠EBN+∠BEN=90°，
∴∠FEH=∠EBN，
在△FEH和△EBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FHE=∠BNE}\\{∠FEH=∠EBN}\\{FE=EB}\end{array}\right.$，
∴△FEH≌△EBN，
∴FH=EN=2，HE=BN=4，
∵ME为△FAG的中位线，
∴FH=HL=2，ME∥AG，
易得四边形HLKN为矩形，
∴NK=HL=2，KL=HN=4=2=6，
∴BK=BN+NK=4+2=6，
在Rt△ABK中，BA=BC=10，BK=6，
∴AK=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴AL=AK-KL=8-6=2，
∵EH∥GL，EF=EG，
∴GL=2EH=8，
∴AG=AL+LG=2+8=10，
∴AB=AC，
∴CB=CF，
∴∠CFB=∠CBF，
而∠CFB+∠CBF+∠BCF=180°，
∴2∠CBF+∠BCF=180°，
即∠CBF=90°-$\frac{1}{2}$∠BCF．

点评 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质；利用线段中点构建三角形中位线得到线段之间的位置关系与数量关系；会利用全等三角形的知识解决线段相等的问题．