Question

（1997•山东）如图，ABCD是一个正方形，P、Q是正方形外两点，且△APD和△BCQ是等边三角形，则∠PQD的正切值是（　　）

• A．2-

  3

• B．2+

  3

• C．

  3 -1

  2

• D．

  6 - 2

  4

Answer 1

分析：连结AQ，通过证明△ABQ≌△DCQ，就可以得出PQ是AD的中垂线，可以得出PQ是BC的中垂线，就可以表示出QE的值，CE的值，就可以求出∠PQD的正切值．

解答：解：连结AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，AD∥BC．
∴∠AFQ=∠BEQ．
∵△APD和△BCQ是等边三角形，
∴PD=PA=AD，BQ=CQ=BC，∠BCQ=∠CBQ=60°，
∴∠DCB+∠BCQ=∠ABC+∠CBQ，
∴∠DCQ=∠ABQ．
∵在△DCQ和△ABQ中，

DC=AB ∠DCQ=∠ABQ CQ=BQ

，
∴△DCQ≌△ABQ（SAS），
∴DQ=AQ．
∵DQ=AP，
∴PQ是AD的中垂线，
∴∠AFQ=∠AFP=90°，DF=

1

2

AD，
∴∠BEQ=90°，
∴CE=

1

2

BC．
设BC=a，则CE=DF=

1

2

a，EF=a，在Rt△QEC中，由勾股定理，得
QE=

3

2

a，
∴FQ=a+

3

2

a，
∴tan∠PQD=

1 2 a

a+ 3 2 a

=2-

3

．
故选A．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，锐角三角函数的运用．解答时作出辅助线证明三角形全等是关键．