Question

16．如图，有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（$\sqrt{3}$，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在的直线上，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA方向平行移动，至B点到达A点停止（记平移后的四边形为B₁C₁F₁E₁）．在平移过程中，设平移的距离BB₁=x，四边形B₁C₁F₁E₁与△AEF重叠的面积为S．
（1）求折痕EF的长；
（2）平移过程中是否存在点F₁落在y轴上？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x（0≤x≤2）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}（2＜x≤\frac{10}{3}）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{7\sqrt{3}}{2}（\frac{10}{3}＜x≤4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}（4＜x≤6）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）运用30°的角的直角三角形求解即可求出折痕EF的长．
（2）存在，作B₁D⊥BC，由（1）可得FO的长，进而可求出B₁D的长度，在直角三角形中可求出BB₁，即x的值．
（3）分4种情况讨论①当0≤x≤2时，即点E到A时经过的面积，②当2＜x≤$\frac{10}{3}$时，S为△AEF的面积，③当$\frac{10}{3}$＜x≤4时，④当4＜x≤6时，根据四边形B₁C₁F₁E₁与△AEF重叠的面积为S与x关系求出表达式及自变量x的取值范围．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵A（$\sqrt{3}$，0），
∴EO=1，
∵∠EFO=60°，∠EOF=90°，
∴EF=$\frac{EO}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
（2）存在，理由如下：
如图1，作B₁D⊥BC，

∵FO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴B₁D=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠B=60°
∴BB₁=$\frac{{B}_{1}D}{sin60°}$=$\frac{2}{3}$，即x=$\frac{2}{3}$，
（3）①当0≤x≤2时，即点E到A时经过的面积，如图2，

∵AO=$\sqrt{3}$，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴AE=2，
∵BB₁=EE₁=x，
∴E₁A=2-x，
∴E₁M=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2-x），
∴S=$\frac{1}{2}$（EF+E₁M）•E₁E=$\frac{1}{2}$[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2-x）]•x=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x
②当2＜x≤$\frac{10}{3}$时，S为△AEF的面积，
所以S=$\frac{1}{2}$EF•AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
③当$\frac{10}{3}$＜x≤4时，如图3

∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴AC=3$\sqrt{3}$，
∵AO=$\sqrt{3}$，OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴此时BB₁=$\frac{10}{3}$，即当B₁C₁过点F时x=$\frac{10}{3}$，
当x＞$\frac{10}{3}$时，FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{10}{3}$），在RT△NMF中，NM=$\sqrt{3}$FM=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{10}{3}$），
∴△NMF的面积为：$\frac{1}{2}$FM•MN=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{10}{3}$）×$\frac{3}{2}$（x-$\frac{10}{3}$），
∴S=S_△AEF-S_△NMF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{10}{3}$）×$\frac{3}{2}$（x-$\frac{10}{3}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$x²+$\frac{5}{2}$x-$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
④当4＜x≤6时，如图4，

∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴AB=6，
AB₁=6-x，
∴DB₁=$\frac{1}{2}$（6-x），AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x），
∴S=$\frac{1}{2}$DA•DB₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（6-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
综上可知S与x的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x（0≤x≤2）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}（2＜x≤\frac{10}{3}）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{7\sqrt{3}}{2}（\frac{10}{3}＜x≤4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}（4＜x≤6）}\end{array}\right.$，
故答案为：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x（0≤x≤2）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}（2＜x≤\frac{10}{3}）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{7\sqrt{3}}{2}（\frac{10}{3}＜x≤4）}\\{\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}（4＜x≤6）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了几何变换综合题，涉及直角三角形，梯形面积，三角形面积及坐标轴，第三小题是难点，解题的关键是要分4种情况讨论，本题还考查了分段函数的知识，二次函数的综合运用以及三角函数的应用．难度较大，对学生的计算能力要求很高．