Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边C=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的两根．
（1）求m的值（2）求△ABC的面积（3）求较小锐角的正弦值．

Answer 1

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，进而求出△ABC的面积与较小锐角的正弦值．

解答：解：（1）∵a，b是方程x²-mx+2m-2=0的解，
∴a+b=m，ab=2m-2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a²+b²=c²，
而a²+b²=（a+b）²-2ab，∵c=5，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=25，
即：m²-2（2m-2）=25，解得，m₁=7，m₂=-3，
∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．
∴a+b=m＞0，m=-3不合题意，舍去．
∴m=7，

（2）△ABC的面积=

1

2

ab，
∵a+b=m=7，a²+b²=（a+b）²-2ab=25，解得：ab=12，
故）△ABC的面积=

1

2

ab=

1

2

×12=6；
另解：∵m=7，a，b是方程的两个根，
∴ab=

2m-2

1

=12，
∴△ABC的面积=

1

2

ab=

1

2

×12=6；
（3）当m=7时，原方程为x²-7x+12=0，
解得，x₁=3，x₂=4，
不妨设a=3，则sinA=

a

c

=

3

5

，
∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为

3

5

．

点评：本题考查了根与系数的关系及锐角三角形的定义，难度较大，主要掌握利用一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．