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在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边C=5,两直角边的长a,b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两根.
(1)求m的值(2)求△ABC的面积(3)求较小锐角的正弦值.
分析:根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后,再求得方程的解,进而求出△ABC的面积与较小锐角的正弦值.
解答:解:(1)∵a,b是方程x2-mx+2m-2=0的解,
∴a+b=m,ab=2m-2,
在Rt△ABC中,由勾股定理得,a2+b2=c2
而a2+b2=(a+b)2-2ab,∵c=5,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=25,
即:m2-2(2m-2)=25,解得,m1=7,m2=-3,
∵a,b是Rt△ABC的两条直角边的长.
∴a+b=m>0,m=-3不合题意,舍去.
∴m=7,

(2)△ABC的面积=
1
2
ab,
∵a+b=m=7,a2+b2=(a+b)2-2ab=25,解得:ab=12,
故)△ABC的面积=
1
2
ab=
1
2
×12=6;
另解:∵m=7,a,b是方程的两个根,
∴ab=
2m-2
1
=12,
∴△ABC的面积=
1
2
ab=
1
2
×12=6;
(3)当m=7时,原方程为x2-7x+12=0,
解得,x1=3,x2=4,
不妨设a=3,则sinA=
a
c
=
3
5

∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为
3
5
点评:本题考查了根与系数的关系及锐角三角形的定义,难度较大,主要掌握利用一元二次方程的根与系数的关系,勾股定理,正弦的概念求解.
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a
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a
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