Question

16．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）ⁿ（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．

（1）请仔细观察，填出（a+b）⁴的展开式中所缺的系数．（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab²+b⁴
（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过8¹⁴天是星期四．

Answer 1

分析 （1）根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可；
（2）根据8¹⁴=（7+1）¹⁴=7¹⁴+14×7¹³+91×7¹²+…+14×7+1可知8¹⁴除以7的余数为1，从而可得答案．

解答 解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab²+b⁴，
故答案为：6，4；

（2）∵8¹⁴=（7+1）¹⁴=7¹⁴+14×7¹³+91×7¹²+…+14×7+1，
∴8¹⁴除以7的余数为1，
∴假如今天是星期三，那么再过8¹⁴天是星期四，
故答案为：四．

点评 本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）ⁿ展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）^n-1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．