【题目】阅读材料并解答下列问题:如图1,把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴轴和轴构成一个平面斜坐标系
规定:过点作轴的平行线,交轴于点,过点作轴的平行线,交轴于点,若点在轴对应的实数为,点在轴对应的实数为,则称有序实数对为点在平面斜坐标系中的斜坐标.如图2,在平面斜坐标系中,已知,点的斜坐标是,点的斜坐标是
(1)连接,求线段的长;
(2)将线段绕点顺时针旋转到(点与点对应),求点的斜坐标;
(3)若点是直线上一动点,在斜坐标系确定的平面内以点为圆心,长为半径作,当⊙与轴相切时,求点的斜坐标,
【答案】(1);(2)点的斜坐标为(9,);(3)点D的斜坐标为:(,3)或(6,12).
【解析】
(1)过点P作PC⊥OA,垂足为C,由平行线的性质,得∠PAC=,由AP=6,则AC=3,,再利用勾股定理,即可求出OP的长度;
(2)根据题意,过点Q作QE∥OC,QF∥OB,连接BQ,由旋转的性质,得到OP=OQ,∠COP=∠BOQ,则△COP≌△BOQ,则BQ=CP=3,∠OCP=∠OBQ=120°,然后得到△BEQ是等边三角形,则BE=EQ=BQ=3,则OE=9,OF=3,即可得到点Q的斜坐标;
(3)根据题意,可分为两种情况进行①当OP和CM恰好是平行四边形OMPC的对角线时,此时点D是对角线的交点,求出点D的坐标即可;②取OJ=JN=CJ,构造直角三角形OCN,作∠CJN的角平分线,与直线OP相交与点D,然后由所学的性质,求出点D的坐标即可.
解:(1)如图,过点P作PC⊥OA,垂足为C,连接OP,
∵AP∥OB,
∴∠PAC=,
∵PC⊥OA,
∴∠PCA=90°,
∵点的斜坐标是,
∴OA=3,AP=6,
∴,
∴,
∴,,
在Rt△OCP中,由勾股定理,得
;
(2)根据题意,过点Q作QE∥OC,QF∥OB,连接BQ,如图:
由旋转的性质,得OP=OQ,∠POQ=60°,
∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°,
∴∠COP=∠BOQ,
∵OB=OC=6,
∴△COP≌△BOQ(SAS);
∴CP=BQ=3,∠OCP=∠OBQ=120°,
∴∠EBQ=60°,
∵EQ∥OC,
∴∠BEQ=60°,
∴△BEQ是等边三角形,
∴BE=EQ=BQ=3,
∴OE=6+3=9,OF=EQ=3,
∵点Q在第四象限,
∴点的斜坐标为(9,);
(3)①取OM=PC=3,则四边形OMPC是平行四边形,连接OP、CM,交点为D,如图:
由平行四边形的性质,得CD=DM,OD=PD,
∴点D为OP的中点,
∵点P的坐标为(3,6),
∴点D的坐标为(,3);
②取OJ=JN=CJ,则△OCN是直角三角形,
∵∠COJ=60°,
∴△OCJ是等边三角形,
∴∠CJN=120°,
作∠CJN的角平分线,与直线OP相交于点D,作DN⊥x轴,连接CD,如图:
∵CJ=JN,∠CJD=∠NJD,JP=JP,
∴△CJD≌△NJD(SAS),
∴∠JCD=∠JND=90°,
则由角平分线的性质定理,得CD=ND;
过点D作DI∥x轴,连接DJ,
∵∠DJN=∠COJ=60°,
∴OI∥JD,
∴四边形OJDI是平行四边形,
∴ID=OJ=JN=OC=6,
在Rt△JDN中,∠JDN=30°,
∴JD=2JN=12;
∴点D的斜坐标为(6,12);
综合上述,点D的斜坐标为:(,3)或(6,12).
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【题目】如图1,△ABC(AC<BC<AC)绕点C顺时针旋转得△DEC,射线AB交射线DE于点F.
(1)∠AFD与∠BCE的关系是 ;
(2)如图2,当旋转角为60°时,点D,点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上,延长DO至点G,使OG=OD,连接GC.
①∠AFD与∠GCD的关系是 ,请说明理由;
②如图3,连接AE,BE,若∠ACB=45°,CE=4,求线段AE的长度.
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【题目】某生物小组观察一植物生长,得到的植物高度(单位:厘米)与观察时间(单位:天)的关系,并画出如下图所示的图象(是线段,直线平行于轴).下列说法错误的是( )
A.从开始观察时起,50天后该植物停止长高;
B.直线的函数表达式为;
C.第40天,该植物的高度为14厘米;
D.该植物最高为15厘米.
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【题目】为美化小区,物业公司计划对面积为的区域进行绿化,安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的倍,如果要独立完成面积为区域的绿化,甲队比乙队少用天.
求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少?
若物业公司每天需付给甲队的绿化费用为万元,需付给乙队的费用为万元,要使这次的绿化总费用不超过万元,至少应安排甲队工作多少天?
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【题目】江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式,某校为了了解学生“最喜爱的省运会项目”的情况,随机抽取了部分学生进行问卷调查,规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表.
最喜爱的省运会项目的人数调查统计表
根据以上信息,请回答下列问题:
(1)这次调查的样本容量是 , ;
(2)扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为 度;
(3)若该校有1200名学生,估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数.
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【题目】解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答
(1)解不等式①,得___________;
(2)解不等式②,得___________;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为_______________.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,的顶点,,均在格点上.
(Ⅰ)的长等于________________;
(Ⅱ)在如图所示的网格中,将绕点A旋转,使得点B的对应点落在边上,得到,请用无刻度的直尺,画出,并简要说明这个三角形的各个顶点是如何找到的(不要求证明).
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【题目】如图,直线与双曲线交于A、B两点,连接OA、OB,轴于点M,轴于点N,有以下结论:①;②;③则;④当时,.其中结论正确的是___________
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【题目】如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=8,点E是AB的中点,以AE为边作等边△ADE(点D与点C分别在AB异侧),连接CD,则△ACD的面积是_________.
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