Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8㎝，BC=4㎝，AB=5㎝.从初始时刻开始，动点P沿着P、Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为1㎝/s，动点P沿A—B—C—E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B—C—E—D的方向运动，到点D停止，设运动时间为s，△PAQ的面积为㎝².（这里我们把线段的面积看作是0）

解答下列问题
（1）当=2s时，=      ㎝²，当s时，=       ㎝²；
（2）当5≤≤14时，求与之间的函数关系式；
（3）当动点P在线段BC上运动时，求出_梯形ABCD时的值；
（4）直接写出整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有的值.

Answer 1

（1）2，9；（2）当5≤≤9时，，当9＜≤13时，，当13＜≤14时，；（3）=7；（4），，.

试题分析：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，当s时，三角形PAQ的高就是4，底为4.5，由三角形的面积公式可以求出其解．
（2）当5≤≤14 时，求y与x之间的函数关系式．要分为三种不同的情况进行表示：当5≤≤9时，当9＜≤13时，当13＜≤14时．
（3）可以由已知条件求出S_梯形ABCD，然后根据条件求出y值，代入当5≤x≤9时的解析式就可以求出x的值．
（4）利用相似三角形的性质，相似三角形的对应线段成比例就可以求出对应的x的值．
（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2

∴
当s时，AP=4.5，Q点在EC上
∴；
（2）当5≤≤9时
y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=（5+x-4）×4-×5（x-5）-（9-x）（x-4）

当9＜≤13时

y=（x-9+4）（14-x）

当13＜≤14时
y=×8（14-x）
；
（3）当动点P在线段BC上运动时

∵y=S_梯形ABCD=×（4+8）×5=8
∴8=x²-7x+，即x²-14x+49=0，解得：x₁=x₂=7
∴当x=7时，y=S_梯形ABCD
（4）设运动时间为x秒，
当PQ∥AC时，BP=5-x，BQ=x，
此时△BPQ∽△BAC，
故，即，
解得；
当PQ∥BE时，PC=9-x，QC=x-4，
此时△PCQ∽△BCE，
故，即，
解得；
当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9，
此时△PEQ∽△BAE，
故，即，
解得．
由题意得x的值为：，，．
点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.