Question

已知△ABC是等边三角形，点P是AC上一点，PE⊥BC于点E，交AB于点F，在CB的延长线上截取BD=PA，PD交AB于点I，PA=nPC．
（1）如图1，若n=1，则

EB

BD

=

 

，

FI

ED

=

 

；
（2）如图2，若∠EPD=60°，试求n和

FI

ED

的值；
（3）如图3，若点P在AC边的延长线上，且n=3，其他条件不变，则

EB

BD

=

 

．（只写答案不写过程）

Answer 1

分析：（1）①由题意，在直角△BEF中，∠F=30°，则BE=

1

2

BF，又由∠BAC=∠F+∠APF=60°，可得AF=AP=BD=

1

2

AB，BD=

1

3

BF，即可得出；②如图一，作PG∥BC，IH∥BC，可得IH=

1

2

FI，易证△PGI≌△DBI，则DI=PI，在△PDE中，IH是中位线，可得IH=

1

2

DE，即可得出；
（2）连BP，且过P作PM⊥AB于M，过P点作PN∥BC交AB于N，可得ANP为等边三角形，△PNI≌△DBI（AAS），根据等边三角形的性质和全等三角形的性质，可得BI=BD，即

1

2

a=an，即可得出n的值；在△AMP中可得AM=

1

2

an，BM=BE=a+an-

1

2

an=a+

1

2

an，BE=a+an-

1

2

a=

1

2

a+an，由∠EPC=∠APF=30°，而∠CAF=120°，∠F=30°，则AF=AP=an，FI=2an+

1

2

a，即可求出；
（3）根据（1）的推理原理，即可推出结果．

解答：解：（1）①∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∵EF⊥BC，
∴在直角△BEF中，∠F=30°，
∴BE=

1

2

BF，
∵PA=nPC，n=1，
∴2PA=AB，
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°，
∴AF=AP=BD=

1

2

AB，
∴BD=

1

3

BF，
∵BE=

1

2

BF，
∴

EB

BD

=

3

2

；
②如图1，作PG∥BC，IH∥BC，
∴IH=

1

2

FI，
易证△PGI≌△DBI，则DI=PI，
∴在△PDE中，IH是中位线，
∴IH=

1

2

DE，
∴

FI

ED

=1；
故答案为：

3

2

；1．

（2）如图2，设PC=a，则PA=an；连BP，且过P作PM⊥AB于M；
过P点作PN∥BC交AB于N，
可判断ANP为等边三角形，
所以AP=PN=AN，
∴△PNI≌△DBI（AAS），
∴IB=

1

2

a，
又∵∠PED=90°，
∴∠D=∠BID=30°，
∴BI=BD，即

1

2

a=an，
∴n=

1

2

，
在△AMP中可得AM=

1

2

an，
∴BM=a+an-

1

2

an=a+

1

2

an，
BE=a+an-

1

2

a=

1

2

a+an，
又∵DB=PA，
∴DE=

1

2

a+an+an=2an+

1

2

a，
又∵∠EPC=∠APF=30°，
而∠CAF=120°，∠F=30°，
∴AF=AP=an，
∴FI=2an+

1

2

a，
∴

FI

ED

=

2an+ 1 2 a

2an+ 1 2 a

=1；

（3）∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∵EF⊥BC，
∴在直角△BEF中，∠F=30°，
∴BE=

1

2

BF，
∵PA=nPC，n=3，
∴PA=

2

3

AB，
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°，
∴AF=AP=BD=

2

3

AB，
∴BD=

5

3

BF，
∵BE=

1

2

BF，
∴

EB

BD

=

5

6

．
故答案为：

5

6

点评：本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于推出BD=

1

2

AB，BD=

1

3

BF；推出相关三角形全等．