Question

【题目】已知：如图，⊙O和⊙O相交于A、B两点， 动点P在⊙O上，且在⊙ 外，直线PA、PB分别交⊙O于C、D.问：⊙O的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明；

Answer 1

【答案】CD的长与点P的位置无关.

【解析】试题分析：连接AD、AB，∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值，∠P在⊙O2中所对的弦为AB，所以∠P为定值．再利用三角形内角与外角的关系求出∠CAD为定值，则弦CD为定值，与P的位置无关．

试题解析：

当点P运动时，CD的长保持不变，A、B是⊙O1与⊙O2的交点，弦AB与点P的位置关系无关，
证明：

连接AD，如图所示：

∵∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，
∴∠ADP为定值，
∵∠P在⊙O2中所对的弦为AB，
∴∠P为定值，
∵∠CAD=∠ADP+∠P，
∴∠CAD为定值，
∵在⊙O1中∠CAD对弦CD，
∴CD的长与点P的位置无关．