Question

（2013•燕山区一模）如图，已知直线l₁：y=-x+2与l₂：y=

1

2

x+

1

2

，过直线l₁与x轴的交点P₁作x轴的垂线交l₂于Q₁，过Q₁作x轴的平行线交l₁于P₂，再过P₂作x轴的垂线交l₂于Q₂，过Q₂作x轴的平行线交l₁于P₃，…，这样一直作下去，可在直线l₁上继续得到点P₄，P₅，…，P_n，…．设点P_n的横坐标为x_n，则x₂=

1

2

，x_n+1与x_n的数量关系是

x_n+2x_n+1=3

．

Answer 1

分析：令y=0求出点P₁的坐标，再根据点Q₁与P₁的横坐标相同求出点Q₁的坐标，根据Q₁、P₂的纵坐标相同求出点P₂的坐标，然后求出Q₂、P₃的坐标，然后根据变化规律解答即可．

解答：解：令y=0，则-x+2=0，
解得x=2，
所以，P₁（2，0），
∵P₁Q₁⊥x轴，
∴点Q₁与P₁的横坐标相同，
∴点Q₁的纵坐标为

1

2

×2+

1

2

=

3

2

，
∴点Q₁的坐标为（2，

3

2

），
∵P₂Q₁∥x轴，
∴点P₂与Q₁的纵横坐标相同，
∴-x+2=

3

2

，
解得x=

1

2

，
所以，点P₂（

1

2

，

3

2

），
∵P₂Q₂⊥x轴，
∴点Q₂与P₂的横坐标相同，
∴点Q₂的纵坐标为

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
∴点Q₂的坐标为（

1

2

，

3

4

），
∵P₃Q₂∥x轴，
∴点P₃与Q₂的纵横坐标相同，
∴-x+2=

3

4

，
解得x=

5

4

，
所以，点P₃（

5

4

，

3

4

），
…，
∵P₁（2，0），P₂（

1

2

，

3

2

），P₃（

5

4

，

3

4

），
∴x₂=

1

2

，2+2×

1

2

=3，

1

2

+2×

5

4

=3，
∴x_n+2x_n+1=3．
故答案为：

1

2

；x_n+2x_n+1=3．

点评：本题考查了两直线相交的问题，根据题意分别求出各个点的坐标是解题的关键．