Question

13．观察图a所示算式，该算式由无数层分数线及相同的加数2循环嵌套而成，由图b我们发现，因为有无数层分数线嵌套，因此方框内的部分与整个算式相同，我们假设算式的结果为x，那么就可以将该算式转化成$\frac{1}{2+x}$，从而得到方程$\frac{1}{2+x}$=x．求解出该算式的结果
问题：如果x=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{…}}}}$，y=$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}$，请用上面的方法比较x与y的大小．

Answer 1

分析 首先把x=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{…}}}}$，y=$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}$，两边平方，进一步整理得出方程，求得方程的根，进一步比较得出答案即可．

解答 解：∵x=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{…}}}}$，y=$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}$，
∴x²=（$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{…}}}}$）²，y²=（$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}$）²，
∴x²-x-2=0，y²=2y，
解得：x=2 （x＞$\sqrt{2}$＞0），y=2 （y＞0），
∴x=y．

点评 此题考查二次根式的实际运用，理解题意，转化为一元二次方程的实际运用，建立方程解决问题．