【题目】如图,是
的直径,点
为
上一点,点
是半径
上一动点(不与
,
重合),过点
作射线
,分别交弦
,
于
,
两点,在射线
上取点
,使
.
(1)求证:是
的切线;
(2)当点是
的中点时,
①若,判断以
,
,
,
为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由;
②若,且
,求
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)①四边形是菱形,理由见解析;②5.
【解析】
(1)连接,利用
和
再进行等量代换证明OC⊥FC即可;
(2)①先证明,
均为等边三角形,求得
,即可求解;
②利用三角函数,和勾股定理求出AC,BC,再利用垂径定理求出HB,利用三角形面积公式求出PE,再求出OP,BP,DP即可.
解:(1)证明:如图1,连接,
,
,
,
,
,
是
的切线.
(2)如图2,连接,OE交CB于点H.
①以为顶点的四边形是菱形.理由如下:
是直径,
,
,
,
点
是
的中点,
,
,
均为等边三角形,
四边形
是菱形;
②,设
,
,
由勾股定理得,即
,解得
,
,
,
∵AB=20,
∴OE=OB=10,
点
是
的中点,
,
,
,即
,解得:
,
由勾股定理得,
,
,即
.
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【题目】已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣2的图象(记为抛物线C1)顶点为M,直线l:y=2x﹣a与x轴,y轴分别交于A,B.
(1)对于抛物线C1,以下结论正确的是 ;
①对称轴是:直线x=1;②顶点坐标(1,﹣a﹣2);③抛物线一定经过两个定点.
(2)当a>0时,设△ABM的面积为S,求S与a的函数关系;
(3)将二次函数y=ax2﹣2ax﹣2的图象C1绕点P(t,﹣2)旋转180°得到二次函数的图象(记为抛物线C2),顶点为N.
①当﹣2≤x≤1时,旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小,求t的取值范围;
②当a=1时,点Q是抛物线C1上的一点,点Q在抛物线C2上的对应点为Q',试探究四边形QMQ'N能否为正方形?若能,求出t的值,若不能,请说明理由.
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【题目】如图,将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE,DE的延长线恰好经过AC的中点F,连接AD,CE.
(1)求证:AE=CE;
(2)若BC=,求AB的长.
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【题目】我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示,若a=2,b=3,现随机向该图形内掷一枚小针,则针尖落在阴影域内的概率为_____.
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【题目】如图,在中,
,以
为直径的圆
交
于点
,交
于点
,以点
为顶点作
,使得
,交
延长线于点
,连接
、
,延长
交
于点
.
(1)求证:为
的切线;
(2)求证:;
(3)若,且
,求
的半径.
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【题目】如图,一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象交于A(2,3),B(6,n)两点,与x轴、y轴分别交于C,D两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式.
(2)求当x为何值时,y1>0.
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【题目】某校3月份开展网络授课教学,该校随机抽取部分学生,按四个类别(A、很喜欢;B、喜欢;C、一般;D、不喜欢;)统计它们对网络授课的接受情况,并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图:
(1)这次共抽取_________名学生进行统计调查;扇形统计图中,D类所对应的扇形圆心角的大小为_______;
(2)将条形图补充完整;
(3)该校共有1500名学生,估计该校表示“喜欢”网络授课的B类的学生大约有多少人?
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【题目】如图,菱形ABCD的边AD⊥y轴,垂足为点E,顶点A在第二象限,顶点B在y轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=3DE
(1)求出k值.
(2)求出△OCD的面积
(3)试探究坐标轴上是否存在点P,使得△PCD的面积等于菱形ABCD的面积的一半,如果存在,请直接写出点P的坐标;如不存在,请说明理由.
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