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    （2013•燕山区一模）如图（1），两块等腰直角三角板ABC和DEF，∠ABC=∠DEF=90°，点C与EF 在同一条直线l上，将三角板ABC绕点C逆时针旋转α角（0°＜α≤90°）得到△A′B′C．设EF=2，BC=1，CE=x．

    （1）如图（2），当α=90°，且点C与点F重合时，连结EB′，将直线EB′绕点E逆时针旋转45°，交直线A′D于点M，请补全图形，并求证：A′M=DM．
    （2）如图（3），当0°＜α＜90°，且点C与点F不重合时，连结EB′，将直线EB′绕点E逆时针旋转45°，交直线A′D于点M，求
    A′MDM
    的值（用含x的代数式表示）．
    分析：（1）连结AE，利用△ABC和△DEF是等腰直角三角形证得Rt△MA'E∽Rt△B'FE，利用相似三角形对应边的比相等求得线段A′M的长后即可求得线段DM的长，从而证得A'M=DM；
    （2）过点B'作B'G⊥B'E交直线EM于点G，连结A'G，证得△A'B'G≌△CB'E，利用全等三角形对应角相等证得A'G∥DE，从而得到
    A′M
    DM
    =
    A′G
    DE
    =
    x
    2
    ．
    解答：解：（1）补全图形如右图（1）：
    如图（2），连结AE，
    ∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
    ∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2，
    ∴BC=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=45°．
    ∴A′C=AC=
    		2
    ，DF=2
    		2
    ，∠EFB'=90°．
    ∴A′D=DF-A′C=
    		2
    ，
    ∴点A'为DF的中点．
    ∴EA'⊥DF，EA'平分∠DEF．
    ∴∠MA'E=90°，∠A'EF=45°，A′E=
    		2
    ．
    ∵∠MEB'=∠A'EF=45°，
    ∴∠MEA'=∠B'EF，
    ∴Rt△MA'E∽Rt△B'FE，
    ∴
    A′M
    B′F
    =
    A′E
    EF
    ，
    ∴A′M=
    		2
    2
    ，
    ∴DM=A′D-A′M=
    		2
    -
    		2
    2
    =
    		2
    2
    ，
    ∴A'M=DM．                                   

    （2）如图（3），过点B'作B'G⊥B'E交直线EM于点G，连结A'G．
    ∵∠EB'G=90°，∠B'EM=45°，
    ∴∠B'GE=45°．
    ∴B'E=B'G．
    ∵∠A'B'C=∠EB'G=90°，
    ∴∠A'B'G=∠CB'E．
    在△A'B'G和△CB'E中
    B′E=B′G
    ∠A′B′G=∠CB′E
    B′A=B′C
    ．
    ∴△A'B'G≌△CB'E（SAS）．          
    ∴A'G=CE=x，∠A'GB'=∠CEB'．
    ∵∠A'GB'+∠A'GM=∠CEB'+∠DEM=45°，
    ∴∠A'GM=∠DEM，
    ∴A'G∥DE．
    ∴
    A′M
    DM
    =
    A′G
    DE
    =
    x
    2
    ．
    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，考察的知识点比较多，难度较大，解答本题之前一定要将图形画出来，这样可以使我们的思考方向更准确一些，另外要求我们熟练掌握各个基础知识点的内容．
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    问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°． 判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．

    小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．
    请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
    （1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是
    EF=BE+DF
    EF=BE+DF
    ；
    （2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为
    5
    5
    ，△EFC的周长为
    10
    10
    ；
    （3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，且EG=2，GF=3，则△AEF的面积为
    15
    15
    ．

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