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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连接AC与⊙O交于点 D.取BC的中点E,连接DE,并连接OE交⊙O于点F.连接AFBC于点G,连接BDAG于点H

1)若EF1BE,求∠EOB的度数;

2)求证:DE为⊙O的切线;

3)求证:点F为线段HG的中点.

【答案】1)∠EOB60°;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

1)根据切线的性质得到∠ABC=90°,解直角三角形得到∠EOB=60°
2)连结OD,根据圆周角定理得到∠ADB=BDC=90°,求得DE=EC,根据切线的判定定理即可得到结论;
3)根据三角形的中位线的性质得到OEAC,根据平行线的性质得到OEBD,得到,求得∠FBD=FAB,根据等腰三角形的性质即可得到结论.

1)∵AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,

∴∠ABC90°

在直角三角形OBE中,设圆O半径为r

EF1BE,则,r2+2=(r+12

解得r1

OB1OE2

RtOBE中,cosEOB,

∴∠EOB60°

2)连结OD

AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=∠BDC90°

E为直角三角形BCD斜边的中点,

DEEC

∴∠CDE=∠C

ODOA

∴∠OAD=∠ODA

∴∠ODA+CDE=∠OAD+C90°

∴∠ODE180°90°90°

DE是⊙O的切线;

3)连接BF

AB是圆O的直径,

∴∠AFB=90°,即BFAF

OE分别为ABBC的中点,

OEAC

BDAC

OEBD

∴∠DOF=

∵∠BAF=

∴∠BAF=DOF,

∵∠DOF=DBF

∴∠DBF=BAF

BC是⊙O的切线,

∴∠EBF+ABF=90°

∵∠BAF+ABF=90°

∴∠EBF=BAF

∴∠EBF=HBF

BFHG

BF垂直平分HG

即:点F为线段HG的中点.

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