Question

如图（1），一正方形纸板ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处，两边分别与线段AB、AD交于点E、F，设BE=．
（1）若三角板的直角顶点处于点O处，如图（2）．判断三角形EOF的形状，并说明理由。

（2）在（1）的条件下，若三角形EOF的面积为S，求S关于x的函数关系式。
（3）若三角板的锐角顶点处于点O处，如图（3）．

①若DF=，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②探究直线EF与正方形ABCD的内切圆的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）△EOF是等腰直角三角形，（2）S=x2-2x+4 (3)EF与正方形ABCD的内切圆相切。

试题分析：解：（1）∵正方形ABCD∴∠AOB=∠EOF=，BO=AO=OD，
∠OAF=∠OBE=∴∠AOF=∠BOE∴△AOF≌△BOE
∴OE=OF  ∴三角形EOF是等腰直角三角形。
（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=

∵∴

（3）①∵∠EOF=∠0BE= ∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=
∴∠FOD=∠BEO，又∠EBO=∠ODF=∴△BOE∽△DFO
∴∴ 
（）
②连结EF

由①知△BOE∽△DFO
∴∵BO=DO
∴而∠EOF=∠0BE=
∴△EOF∽△EBO，∴∠FEO=∠0EB
∴点O到EF、BE的距离相等，而O到BE的距离即为正方形内切
圆⊙O的半径
∴直线EF与正方形的内切圆相切
点评：熟知以上的定义性质，定理。本题应用的知识面很广，对学生要求很高，要认真的体会，把知识点很好的结合在一起，本题难度较大问多，属于偏难题。